高中数学试题及答案 样题（高中数学模拟试题及答案）

第一部分：选择题

题目一

已知函数$f(x)=\\sqrt[3]{x+1}+k$在$x=5$处的导数值等于2，则$k$的值为（  ）

A. $-\\frac{8}{3}$     B. $-\\frac{5}{3}$     C. $-\\frac{2}{3}$     D. $\\frac{1}{3}$

解析：

由题意可得，$f'(5)=2$，则有$\\frac{1}{3}(5+1)^{-\\frac{2}{3}}=2$，解得$(k=-\\frac{8}{3})$，所以答案是A。

题目二

在倒立的玻璃杯中加入水，如图所示。若汲取时，令杯口离桌子面为$h$、静止液面离杯口的距离为$x$，则$x$与$h$之间的函数关系是（  ）

A. $x=h-\\sqrt{h^{2}-r^{2}}$     B. $x=h+\\sqrt{h^{2}-r^{2}}$     C. $x=h-\\frac{r^{2}}{h}$     D. $x=h-\\frac{r^{2}}{2h}$

解析：

根据勾股定理，可得$(h-x)^{2}+r^{2}=h^{2}$，推得$x=h-\\sqrt{h^{2}-r^{2}}$。故答案是A。

题目三

直角三角形ABC，直角在C处，$AB=AC=2$，则$\\cos^{2}\\angle B$的值是（ ）

A. $\\frac{3}{4}$    B. $\\frac{1}{4}$    C. $\\frac{1}{2}$    D. $\\frac{2}{3}$

解析：

由勾股定理可得$BC=\\sqrt{4-1}= \\sqrt{3}$，则$\\cos\\angle B=\\frac{3}{4}$，于是$\\cos^{2}\\angle B= (\\frac{3}{4})^{2}=\\frac{9}{16}$。所以答案是A。

第二部分：填空题

题目四

过点$(-2,1)$，且平行于直线$2x+y-3=0$的直线方程是________。

解析：

由已知可推得该直线的斜率为$-\\frac{2}{1}$，由此可得直线方程为$y=-2x-3$，所以答案是$y=-2x-5$。

第三部分：解答题

题目五

计算$\\lim_{x\\rightarrow 0}\\frac{1 - \\cos x}{x}$。

解析：

由泰勒公式：$\\cos x = 1 -\\frac{x^{2}}{2!}+\\frac{x^{4}}{4!}-\\frac{x^{6}}{6!}+...$

因此：$1-\\cos x=\\frac{x^{2}}{2!}-\\frac{x^{4}}{4!}+\\frac{x^{6}}{6!}-...$

于是：$\\lim_{x\\rightarrow 0}\\frac{1-\\cos x}{x}=\\lim_{x\\rightarrow 0}\\frac{\\frac{x^{2}}{2!}-\\frac{x^{4}}{4!}+\\frac{x^{6}}{6!}-...}{x}$

$=\\lim_{x\\rightarrow 0}\\frac{\\frac{1}{2!}-\\frac{x^{2}}{4!}+\\frac{x^{4}}{6!}-...}{1}=1$。

所以答案是1。

题目六

已知函数$f(x)=3x^{3}+3x+\\frac{5}{x^{2}+1}$，求$f(x)$在$x=1$处的极值。

解析：

对f(x)求导：$f'(x)=9x^{2}+3-\\frac{10x}{(x^{2}+1)^{2}}$，令$f'(x)=0$，解得$x=\\frac{1}{\\sqrt{2}}$。

为了判断$\\frac{1}{\\sqrt{2}}$是否是最值点，还需确定$f(x)$的单调性。$f''(x)=18x+\\frac{40x^{3}-80x}{(x^{2}+1)^{3}}$，当$x=\\frac{1}{\\sqrt{2}}$时，$f''(x)>0$。所以可知$f(\\frac{1}{\\sqrt{2}})$是极小值。

故$f(x)$在$x=1$处的极小值为$f(\\frac{1}{\\sqrt{2}})=\\frac{43}{2\\sqrt{2}}$。所以答案是$\\frac{43}{2\\sqrt{2}}$。