pollard rho（Pollard Rho算法：马踏过江）

Pollard Rho算法：马踏过江

1975年，约翰·波拉德（John Pollard）提出了一种解决大质数分解问题的随机算法，即Pollard Rho算法。这个算法的名字是源自于“马踏过江”这个中国古代寓言故事，寓意着这种算法可以在各种散乱的数学随机场中找到解。本文将系统地介绍Pollard Rho算法。

什么是Pollard Rho算法

Pollard Rho算法是一种随机算法，用于求解大整数的因子分解问题。通过随机选取起始点，相当于按照随机走路的过程，走到了环上，即找到了相等的两个位置，从而进入循环。这个循环就是数学上的周期函数，并且这个函数存在着一些性质，可以推导出整数分解的结果。相比于其他算法，Pollard Rho算法的时间复杂度较小，适合解决大输入数据的运算问题。

Pollard Rho算法流程

Pollard Rho算法主要分为以下步骤：

• 选择起始点x0和一个函数f
• 使用f函数来确定x1，y1和x2，y2
• 计算两点之间的欧几里得距离d=gcd(|x1-x2|,n)，如果结果不等于1或n，则求得一个非1因子
• 如果d=n，重新选择起始点重复上述过程

Pollard Rho算法实践

我们以一个小例子来展示Pollard Rho算法的实际解决过程。假设要分解的数字为n=8051，选择初始点x0=2和函数f(x)=x^2 - 1(mod n)。使用Pollard Rho算法步骤：

• 由x0=2，计算得到x1=3，y1=8
• 同理，由x0=2，计算得到x2=7，y2=47
• 计算两点之间的欧几里得距离d=gcd(|3-7|,8051)=59，59是8051的一个质因子

在此基础上，可以进一步分解表示为8051=59*137，得到完整的因子分解结果。

总结

Pollard Rho算法是一种将随机因素和概率统计等学科知识结合在一起，以预期在有限时间内找到解的随机算法。相比其他算法，用Pollard Rho算法解决大整数分解问题，输出结果的时间复杂度是较小的，这使得它成为诸多领域的计算基础。在密码学、分形几何、模拟退火等领域中都有广泛的应用。