幂函数定义域值域例题（幂函数的定义、域、值域及示例题）

幂函数的定义、域、值域及示例题

幂函数的定义：

幂函数是指形如y=x^a（a≠0）的函数，其中x为自变量，a为常数。它是一类十分重要的基本函数，常见于数学、物理等自然科学的各个领域中。

幂函数的域和值域：

对于幂函数y=x^a（a≠0），其定义域有两种情况：

1.若a为正整数或奇数分式，则幂函数的定义域为全体实数。

2.若a为负整数或偶数分式，则幂函数的定义域为正实数。

幂函数的值域也随着定义域的变化而有所不同：

1.当定义域为全体实数时，值域为(0,+∞)或(-∞,0)。

2.当定义域为正实数时，值域为(0,+∞)。

幂函数的例题：

例1：已知函数y=x²，求其定义域和值域。

解：由于指数a=2为正整数，故该幂函数的定义域为全体实数，即(-∞, +∞)。要求出其值域，需要对x²进行分类讨论及极限分析。

①当0≤x<1时，有0≤x²<1，又由于x无限接近于0时，x²无限接近于0，故函数y=x²的值域为[0, 1)。

②当x≥1时，有x²≥1，函数y=x²的值域为[1, +∞)。

综上，函数y=x²的值域为[0, +∞)。

例2：已知函数y=x^(-2)，求其定义域和值域。

解：由于指数a=-2为负整数，故该幂函数的定义域为正实数，即(0, +∞)。要求出其值域，需要对x^(-2)进行极限分析。

由于随着x的不断逼近0时，x^(-2)无限趋近于正无穷大，故函数y=x^(-2)的值域为(0, +∞)。

例3：设幂函数y=x^(1/2)，若其对应的两组函数值及自变量分别为{(1, a²),(b, 2)},则求a、b的值。

解：由题可知：

1.当x=1时，y=a²，即a²=1^(1/2)=1。

2.当y=2时，x=b²，即2=b^(1/2)。

综上所述，a=1，b=4。

综上所述，幂函数的定义、域、值域及其应用需要我们掌握，掌握技巧和方法可以帮助我们在解决各类实际应用问题时得心应手。